信号与系统复习资料

信号与系统知识点和例题梳理

未完待续，尽量在期末考试之前整理完。

信号的描述及分类

确定信号与随机信号

连续信号与离散信号

连续

1. 冲激信号$\delta(t)$
   信号大小一定要加括号
2. 阶跃信号$u(t)$
   不考虑$t=0$的值（该处的函数值没有定义）
3. 斜坡信号$r(t)$

离散

1. $\delta[k]$
   注意在$k=0$时函数值为1，而不是正无穷。标的时候不能加括号。
2. $u[k]$
   $k=0$时，函数值确定为1。

周期信号与非周期信号

连续

定义：$\forall x \in R$，存在正实数$T$，使得$x(t+nT)=x(t)$成立。则$T$是$x(t)$的周期。
最小正实数$T_0$称为基本周期
正弦信号$x(t)=A\sin(\omega_0 t+\theta)$的周期为：

$$T_0 = \frac{2\pi}{|\omega_0|}$$

离散

定义：$\forall k \in Z$，存在正整数$N$，使得$x[k+nN]=x[k]$成立。则$N$是$x[k]$的周期。
最小正实数$N_0$称为基本周期
离散正弦信号$x[k] = \sin(\Omega_0k)$不一定是周期信号！
若$\frac{|\Omega_0|}{2\pi}=\frac{m}{N}$为有理数（$m$和$N$都为不可约的正整数），则$N$为信号的周期。
虚指数序列$e^{j\Omega_0k}$的周期计算方法相同。

例：求下列离散序列的周期

(1)$x[k] = \sin(\frac{\pi}{5})$
解：

$$\frac{|\Omega_0|}{2\pi}=\frac{1}{10}$$

则周期为10

(2)$x[k] = \sin(\frac{4\pi}{11})$
解：

$$\frac{|\Omega_0|}{2\pi}=\frac{1}{10}$$

则周期为10

(3)以$T=0.4$抽样间隔对连续信号$sin(t)$抽样得到的离散信号
解：

$$sin(t)|_{t=kT}=sin(0.4k)$$

$$\frac{|\Omega_0|}{2\pi}=\frac{1}{5\pi}$$

为无理数，所以不是周期信号

能量信号和功率信号

归一化能量有限的称为能量信号
归一化功率有限的称为功率信号

例：判断下列信号是能量信号还是功率信号

（1）$x(t)=Ae^{-t}$
解：归一化能量$$\int_{-\infty}^{+\infty}|Ae{-t}|^2=-2A2e^{{-2t}|_{-\infty}}{+\infty}=\infty$$
归一化功率$$\lim_{T\rightarrow\infty}(\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|Ae{-t}|^{2)=\lim_{T\rightarrow\infty}(-2A}2e^{-2t}|_{-T}{T})=\infty$$
既不是能量信号，也不是功率信号
（2）$x[k]=(\frac{4}{5})^k,k\ge 0$
解：归一化能量

$$\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=-N}^{N}|x[k]|^2=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{N}(\frac{4}{5})^{2k}=\frac{1}{1-0.64}$$

归一化功率

$$\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{k=-N}^{N}|x[k]|^2=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{k=0}^{N}(\frac{4}{5})^{2k}$$

$$=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{1-0.64}}{2N+1}=0$$

是能量信号，也是功率信号（能量信号一定是功率信号）

系统的描述及分类

系统的描述

1. 输入输出描述
2. 状态变量描述

系统的分类和判断

离散、连续

显而易见

线性非线性

1. 均匀特性
   若$T{x(t)}=y(t)$，则$T(kx(t))=ky(t)$
   输入翻倍，输出也翻倍。
2. 叠加特性
   若$T\{x_1(t)\}=y_1(t)$，$T\{x_2(t)\}=y_2(t)$，则$T\{x_1(t)+x_2(t)\}=y_1(t)+y_2(y)$
   输入相加，输出也相加。
3. 综合表示
   若$T\{x_1(t)\}=y_1(t)$，$T\{x_2(t)\}=y_2(t)$，则$T\{\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)\}=\alpha y_1(t)+\beta y_2(y)$
   输入线性组合，输出也线性组合。
4. 零输入和零状态线性
   含有初始状态的系统，若系统的响应可以分解为零输入和零状态，则需要分别求线性。只要两部分都线性，系统就线性。
   若系统的响应不可以被分解为零输入和零状态（例如：$y[k]=4y[0]·x[k]+3x[k]$），则一定不线性，因为初始状态不会受输入影响，输入线性组合不会改变初始状态，也就无法使得输出线性组合。

例：判断该系统是否为线性系统

（1）$y(t)=y(0)sin(2t)+\int_{0}^{t}x(\tau)d\tau$

因果非因果

时变非时变

稳定非稳定

信号的基本运算

连续

离散